Question

【題目】如圖 1，在直角梯形中， ，且．現(xiàn)以為一邊向外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直， 為的中點(diǎn)，如圖 2．

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)取EC中點(diǎn)N，連結(jié)MN,BN.由幾何關(guān)系可證得四邊形ABNM為平行四邊形.則BN∥AM，利用線面平行的判定定理可得平面；

(2) 由幾何關(guān)系有ED⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，利用直角梯形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得BC⊥BD，據(jù)此由線面垂直的判定定理有平面；

(3) 作平面PEC于點(diǎn)H，連接CH,則∠DCH為所求的角，利用三棱錐體積相等轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)有： ，據(jù)此可求得，利用三角函數(shù)的定義可得與平面所成角的正弦值是.

試題解析：

(1)證明：取中點(diǎn)，連結(jié).

在中， 分別為的中點(diǎn)，

所以,且.

由已知,

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因為平面,且平面，

所以平面.

(2)證明：在正方形中， ,

又因為平面平面，且平面平面,

所以平面.

所以

在直角梯形中， ,可得.

在中， .

所以.

所以平面.

(3)作于點(diǎn)，連接,則為所求的角

由(2)知，

所以,又因為平面

又.

所以，

.