【題目】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,側(cè)面是邊長為2的正三角形, , .

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)設(shè)是棱上的點(diǎn),當(dāng)平面時,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)要證平面平面,只需證平面即可.

(Ⅱ)分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,求平面的一個法向量和平面的一個法向量求解即可.

試題解析:

(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接 ,

因?yàn)?/span>是邊長為2的正三角形,所以, ,①

,所以,且

于是,從而,②

由①②得平面,而平面,所以平面平面.

(Ⅱ)連結(jié),設(shè),則的中點(diǎn),連結(jié),當(dāng)平面時, ,所以的中點(diǎn).

由(Ⅰ)知, 、、兩兩垂直,分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則、、、

、坐標(biāo)得,從而,

設(shè)是平面的一個法向量,則由,

,得,易知平面的一個法向量是,

所以

由圖可知,二面角的平面角為鈍角,故所求余弦值為.

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