Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，，求；

（Ⅱ）若對(duì)任意，都存在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）運(yùn)用極值的定義進(jìn)行分析和推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分類求解.

試題解析:

（Ⅰ），是函數(shù)的極值點(diǎn)，．

是函數(shù)的零點(diǎn)，得，由解得，．

，，

令，，得；

令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

故函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，其中，，

因?yàn)?/span>，

，所以，故．

（Ⅱ）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，

根據(jù)題意，對(duì)任意，都存在，使得成立，則

在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，令，，，

在上單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，

，不符合題意．

②當(dāng)，即時(shí)，，

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，

在上單調(diào)遞減，存在，使得，符合題意．

若，則，在上一定存在實(shí)數(shù)，使得，

在上恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，

存在，使得，符合題意．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都存在，使得成立