設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),已知不論α,β為何實(shí)數(shù)恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)求證:c≥3a;
(Ⅲ)若a>0,函數(shù)f(sinα)的最大值為8,求b的值.
分析:(1)取α=
π
2
,β=π,可求得f(1)=a+b+c≥0,f(1)=a+b+c≤0,從而f(1)=0;
(2)取β=0,有f(3)=9a+3b+c≤0,而f(1)=a+b+c=0,可得b=-(a+c),代入9a-3(a+c)+c≤0可得c≥3a;
(3)設(shè)sinx=t,f(sinx)=f(t)=a(t-
a+c
2a
)
2
+c-
(a+c)
4a
2
,由a>0,c≥3a,可求得
a+c
2a
≥2,從而可得二次函數(shù)f(t)在t∈[-1,1]上遞減,而f(x)最大=8,問題解決.
解答:(本小題滿分16分)
解:(1)取α=
π
2
,得f(sinα)=f(1)=a+b+c≥0
取β=π,得f(2+cosβ)=f(1)=a+b+c≤0
∴f(1)=0
(2)證:取β=0,得f(2+cosβ)=f(3)=9a+3b+c≤0
由(1)得f(1)=a+b+c=0,∴b=-(a+c)代入得9a-3(a+c)+c≤0
∴c≥3a
(3)設(shè)sinx=t,則-1≤t≤1又b=-(a+c),
∴f(sinx)=f(t)=at2-(a+c)t+c=a(t-
a+c
2a
)
2
+c-
(a+c)
4a
2

∵a>0,c≥3a,
a+c
2a
a+3a
2a
=2,
∴二次函數(shù)f(t)在t∈[-1,1]上遞減
∴t=-1時(shí),f(x)最大=a+(a+c)+c=8
∴a+c=4,b=-(a+c)=-4.
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,著重考查恒成立問題與二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,換元后分析出其對(duì)稱軸t=
a+c
2a
≥2是關(guān)鍵,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(-1)=0,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求證:a>0,c>0;
(3)當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調(diào)的,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0<x1<x2
1
a
,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,則有( 。
A、x0
x1
2
B、x0
x1
2
C、x0
x1
2
D、x0
x1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值1,且f(0)=
32

(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n,使x∈[m,n]時(shí),函數(shù)的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實(shí)數(shù)m,n;若不存在,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有( 。

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