已知邊長為
m
的正方形ABCj沿對角線AC折成直二面角，使j到P的位置．
（四）求直線PA與BC所成的角；
（m）若M為線段BC上的動點，當BM：BC為何值時，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．
（1）取AC四點O，連接PO、OB，以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則P（0，0，1），A（（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
PA
=（0，-1，-1），
BC
=（-1，1，0），
cos＜
PA
，
BC
＞=
PA
•
BC
|
PA
||
BC
|
=
-1
2
•
2
=-
1
2
，
所以＜
PA
，
BC
＞=120°，直線PA與BC所成的角為四0°；
（2）設BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），則
BM
=λ
BC
=（-λ，λ，0），
AM
=
AB
+
BM
=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），
設
n
=(x，y，z)為平面PAM的一個法向量，則
n
⊥
PA
，
n
⊥
AM
，
所以
n
•
PA
=0
n
•
AM
=0
，即
-y-z=0
(1-λ)x+(1+λ)y=0
，取
n
=(
1+λ
1-λ
，-1，1)，
平面PAC的一個法向量為
m
=（1，0，0），
當平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°時，有|cos＜
n
，
m
＞|=
2
2
，即
n
•
m
|
n
||
m
|
=
1+λ
1-λ
(
1+λ
1-λ
)2+2
=
2
2
，
解得λ=3-2
2
，
故當BM：BC為3-2
2
時，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB中點，F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心．
（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線A1C與EF所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，則AB與平面ADC所成角的正弦值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=
π
2
，則PA與底面ABC所成角為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

邊長為a的菱形ABCD中銳角A=θ，現(xiàn)沿對角線BD折成60°的二面角，翻折后|AC|=
3
2
a，則銳角A是（　�。�
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2
3
，∠ABC=60°．現(xiàn)沿對角線AC將三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）證明：AC⊥BD；
（Ⅱ）記M，N分別為AB，DB的中點．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求點B到平面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=
2
．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=
1
2
AB=1，將△ADC沿AC折起，使D到D′．若二面角D′-AC-B為60°，則三棱錐D′-ABC的體積為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=
2
，AB=1，E是DD1的中點．
（1）求證：AC⊥B1D；
（2）求二面角E-AC-B的大�。�

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