Question

設(shè)f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

x

+xlnx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，從而求出滿足條件的最大整數(shù)M．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

x

+xlnx，f′(x)=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1處的切線斜率為-1；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
當(dāng)x∈（0，

2

3

）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2

3

，2）時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴滿足條件的最大整數(shù)M=4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．