Question

已知定點(diǎn)A（0，0），動(dòng)點(diǎn)B滿足|

AB

|=5，線段AB與圓：x²+y²=9交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作直線l垂直于x軸，過點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（III）過點(diǎn)A作直線m，與點(diǎn)Q的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，C為點(diǎn)Q的軌跡上不同于M、N的任意一點(diǎn)，問k_CM•k_CN是否為定值，若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤皠?dòng)點(diǎn)B滿足|

AB

|=5，”利用軌跡方程的直接法即可求得；
（2）利用Q點(diǎn)與點(diǎn)A，B之間的關(guān)系得到其坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)θ的關(guān)系式，消去θ即可得點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）利用直線的斜率公式，先將“k_CM•k_CN”表示成M（x₀，y₀）中坐標(biāo)的函數(shù)式，結(jié)合橢圓條件化簡即得．

解答：解：（1）根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程是x²+y²=25（2分）
（2）設(shè)Q（x，y），B（5cosθ，5sinθ），P（3cosθ，3sinθ），（4分）
根據(jù)題意有

x=5cosθ y=3sinθ

（6分）
點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（8分）
（3）設(shè)C（x，y），由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1是中心對(duì)稱圖形，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）kCM=

y-y0

x-x0

，kCN=

y+y0

x+x0

，（10分）kCM•kCN=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

（11分）
又點(diǎn)M、C都在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，
所以

x2 25 + y2 9 =1 x 2 0 25 + y 2 0 9 =1

?

x2- x 2 0

25

+

y2- y 2 0

9

=0，

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

9

25

即kCM•kCN=-

9

25

是一個(gè)定值．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．