已知雙曲線經過點，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

（1）；（2）外切.

解析試題分析：（1）利用“點在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個條件列兩個方程，求解與，進而確定雙曲線的方程；（2）根據(jù)圓與圓的位置關系的判斷方法，考查兩圓連心線的長度與兩圓半徑之間的相互關系，同時注意將點與左焦點連接起來，注意到兩圓圓心分別為與的中點，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長度之間的關系，進而確定兩圓的位置關系.
試題解析：（1）因為雙曲線經過點，所以①.
因為雙曲線的的漸近線與圓相切，
所以圓心到直線的距離等于2，
即，整理得②.
聯(lián)立①與②，解得所以雙曲線的方程為．
（2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點為.
設雙曲線的左焦點為，因為點在雙曲線的右支上，
所以，即，
所以.
因為以雙曲線的實軸為直徑的圓的圓心為，半徑為；
以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以兩圓圓心之間的距離為.
因為，
所以以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切.
考點：雙曲線、點到直線的距離、兩圓的位置關系

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1) 求橢圓方程.
(2) 過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積最大時，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求的值；
（2）求的單調區(qū)間；
（3）若且，函數(shù)，若對于，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓C內，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓C的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，
線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（Ⅲ）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍.

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