Question

已知函數(shù)y=sin²x-sinx+1（x∈R），若當(dāng)x=α?xí)r，y取得最大值，；當(dāng)x=β時(shí)，y取得最小值，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，則cos（β-α）=

 

．

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y取得最大與最小值時(shí)sinx的值，確定出sinα與sinβ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα與cosβ的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：令sinx=t，則y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，t∈[-1，1]，
由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)t=

1

2

，即sinβ=

1

2

時(shí)，y取得最小值

3

4

．
當(dāng)t=-1，即sinα=-1時(shí)，y取得最大值3，
∵且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosβ=

1-sin2β

=

3

2

，cosα=0，
則cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．