Question

（2013•通州區(qū)一模）已知橢圓的中心在原點O，短半軸的端點到其右焦點F（2，0）的距離為

10

，過焦點F作直線l，交橢圓于A，B兩點．
（Ⅰ）求這個橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若橢圓上有一點C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由焦點坐標可得c，由短軸端點到焦點距離可得a，根據(jù)a²=b²+c²可得b；
（Ⅱ）可判斷直線l⊥x軸時，不符合題意；設直線l的方程為y=k（x-2），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把l方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由四邊形AOBC為平行四邊形，得

OA

+

OB

=

OC

，根據(jù)韋達定理可得點C的坐標，代入橢圓方程即可求得k值；

解答：解：（Ⅰ）由已知，可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則a=

10

，c=2．
所以b=

a2-c2

=

10-4

=

6

，
所以橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1．
（Ⅱ）若直線l⊥x軸，則平行四邊形AOBC中，點C與點O關于直線l對稱，此時點C坐標為（2c，0）．
因為2c＞a，所以點C在橢圓外，所以直線l與x軸不垂直．                  
于是，設直線l的方程為y=k（x-2），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x2 10 + y2 6 =1 y=k(x-2)

，整理得，（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
x1+x2=

20k2

3+5k2

，所以y1+y2=-

12k

3+5k2

．
因為四邊形AOBC為平行四邊形，所以

OA

+

OB

=

OC

，
所以點C的坐標為(

20k2

3+5k2

，-

12k

3+5k2

)，
所以

( 20k2 3+5k2 )2

10

+

(- 12k 3+5k2 )2

6

=1，解得k²=1，
所以k=±1．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查向量的運算，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論思想，屬中檔題．