Question

設(shè)函數(shù)，函數(shù)，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求其定義域；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，由g（x），h（x）的定義域求解函數(shù)f（x）的定義域．
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域即可確定，利用換元和基本不等式求最值即可；
（3）結(jié)合（2）利用函數(shù)的值域求出關(guān)于a的表達(dá)式，求出a的范圍即可．
解答：解：（1），其定義域?yàn)閇0，a]；（2分）
（2）令，則且x=（t-1）²
∴（5分）
∴
∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴在上遞增，即此時(shí)f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214125718795031/SYS201310232141257187950018_DA/9.png">（8分）
（3）令，則且x=（t-1）²∴
∵在[1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，
∴y=在[1，2]上遞增，上遞減，（10分）
t=2時(shí)的最大值為，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2時(shí)
∴由f（x）的值域恰為，由，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰為時(shí)，（13分）
所求a的集合為{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．