Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在區(qū)間（t，t+ ）（t＞0），使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）如果對任意的 ，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）由f（x）= ，得 ．
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴ ，
∴a=1，
∴ ，x＞0，
．
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值；
（Ⅱ）∵x＞1時， ，
當(dāng)x→0時，y→﹣∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴由零點(diǎn)存在原理，f（x）在區(qū)間（0，1）存在唯一零點(diǎn)，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，t+ ），t＞0上存在極值和零點(diǎn)．
∴ ，解得 ．
∴存在符合條件的區(qū)間，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（ ）；
（ III）由（I）的結(jié)論知，f（x）在[e2 ， +∞）上單調(diào)遞減，
不妨設(shè) ，則|f（x1）﹣f（x2）|≥k| |，則 ．
∴ ．
∴函數(shù)F（x）=f（x）﹣ 在[e2 ， +∞）上單調(diào)遞減，
又 ，
∴ 在[e2 ， +∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e2 ， +∞）上恒成立．
在[e2 ， +∞）上 ，
k≤2．
【解析】（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行求得a的值，然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)期間，則函數(shù)的極值可求；（Ⅱ）假設(shè)存在區(qū)間（t，t+ ）（t＞0），使函數(shù)f（x）在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)，則得到 ，解此不等式組求得t的取值范圍；（Ⅲ）由（I）的結(jié)論知，f（x）在[e2 ， +∞）上單調(diào)遞減，然后構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣ ，由函數(shù)在[e2 ， +∞）上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)在在[e2 ， +∞）上恒成立，由此求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．