Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且P（0，1）是橢圓C上的點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率k_OM=-$\frac{1}{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則b=1，利用橢圓的離心率公式，即可求得a的值，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率公式，即可求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由P（0，1）是橢圓上一點(diǎn)，
則b=1，c²=1，a²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F（1，0），設(shè)直線AB的方程：y=k（x-1），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
則M（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），
∴直線OM的斜率k_OM=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2k}$=-$\frac{1}{2}$，解得：k=1，
∴直線l的方程：x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．