Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn=

n(n+1)

2

，數(shù)列{b_n}滿足條件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；再結(jié)合b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）以及等比數(shù)列的求和公式即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先根據(jù)上面的結(jié)論求出數(shù)列{a_nb_n}的通項(xiàng)公式；再對(duì)其中的一部分利用錯(cuò)位相減求和，最后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求出另一部分即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn=

n(n+1)

2

，
所以有：a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=n（n≥2），
所以a_n=n．
而數(shù)列{b_n}滿足條件：b₁=1，b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）．
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；
（2）由（1）得：a_nb_n=n2ⁿ-n．
令U_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…..①
所以：2U_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹   …②
①-②得-U_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2；
∴U_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
所以，T_n=U_n-

n(n+1)

2

=（n-1）2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，其中滲透了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法這一知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合題目．