Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，且恒成立，求a的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

	1.6	1.7	1.74	1.8	10
	4.953	5.474	5.697	6.050	22026
	0.470	0.531	0.554	0.588	2.303

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；時(shí)，有唯一極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)；（2）10.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類討論即可由函數(shù)單調(diào)性確定極值點(diǎn).

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，有唯一極大值點(diǎn)，由恒成立代入化簡(jiǎn)可知，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，從而討論及討論，即可確定a的最大值，再代入檢驗(yàn).

（1）函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，

則，

當(dāng)時(shí)，，在定義域單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減且圖像連續(xù)，

，時(shí)，

∴存在唯一正數(shù)，使得，

函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)，

綜上：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有唯一極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn).

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有唯一極大值點(diǎn)，

∴，

由恒成立，

∵，∴，

∴

令，則在單調(diào)遞增，

由于，，

∴存在唯一正數(shù)，使得，從而.

由于恒成立，

①當(dāng)時(shí)，成立；

②當(dāng)時(shí)，由于，

∴.

令，當(dāng)時(shí)，，

∴在單調(diào)遞減，從而，

∵，且，且，

∴.

下面證明時(shí)，.

，且在單調(diào)遞減，由于，，

∴存在唯一，使得，

∴.

令，易知在單調(diào)遞減，

∴，

∴，即時(shí)，.

∴a的最大值是10.