【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x(x﹣1)2 , x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設(shè)0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù) 的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx﹣2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè),求實(shí)數(shù)m和t的值.
【答案】
(1)解:f′(x)=(x﹣1)2+2x(x﹣1)=3x2﹣4x+1=(3x﹣1)(x﹣1),x>0.令f′(x)=0,得x= 或x=1,f(x),f′(x)隨x的變化情況如下表
∴當(dāng)x= 時(shí),有極大值f( )= ,當(dāng)x=1時(shí),有極小值f(1)=0
(2)解:由(1)知:f(x)在(0, ],[1,+∞)上是增函數(shù),在[ ,1]上是減函數(shù),
①0<a≤ 時(shí),F(xiàn)(a)=a(a﹣1)2,G(a)=(a﹣1)2≥
特別的,當(dāng)a= 時(shí),有G(a)= ,
②當(dāng) <a≤1時(shí),F(xiàn)(a)=f( )= ,G(a)= ≥
特別的,當(dāng)a=1時(shí),有G(a)= ,
由①②知,當(dāng)0<a≤1時(shí),函數(shù) 的最小值為
(3)解:由已知得h1(x)=x+m﹣g(x)=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在(0,+∞)上恒成立,
∵ ,
∴x∈(0,1)時(shí),h′1(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),h1(x)>0
∴x=1時(shí),h′1(x)取極小值,也是最小值,
∴當(dāng)h1(1)=m﹣t﹣1≥0,m≥t+1時(shí),h1(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
同樣,h2(x)=f(x)﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在(0,+∞)上恒成立,
∵h(yuǎn)′2(x)=3x(x﹣ ),
∴x∈(0, )時(shí),h′2(x)<0,x∈( ,+∞),h′2(x)>0,
∴x= 時(shí),h2(x)取極小值,也是最小值,
∴ =﹣ ﹣m≥0,m≤﹣ 時(shí),h2(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴t+1≤m≤﹣ ,
∵實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè),∴m=﹣ ,t=
【解析】(1)求導(dǎo),令f′(x)=0得x= 或x=1,令f′(x)>0,令f′(x)<0得f(x)的單調(diào)性,確定函數(shù)f(x)的極值.(2)由(1)知f(x)的單調(diào)性,以極值點(diǎn)為界,把a(bǔ)分成兩類討論,在兩類分別求出F(a),求G(a),求G(a)最小值,兩個(gè)最小值最小者,即為所求.(3)把連等式分成兩個(gè)不等式x+m﹣g(x)≥0和f(x)﹣x﹣m≥0在(0,+∞)上恒成立的問題,把不等式的左邊看作一個(gè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求最小值,兩個(gè)范圍求交集再由實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè),可求m,進(jìn)而求t.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an與bn;
(2)求
【答案】(1)an=2n+1,bn=8n-1.(2)
【解析】
(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題設(shè)條件建立方程組,解方程組得到d和q的值,從而求出an與bn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.
(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數(shù),
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依題意有,
解得或 (舍去).
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).
所以++…+=+++…+
= (1-+-+-+…+-)
= (1+--)
=-.
【點(diǎn)睛】
這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達(dá)式,一般是寫出做差得通項(xiàng),但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯(cuò)位相減,裂項(xiàng)求和,分組求和等。
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當(dāng)n∈N+,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)d的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f(x)﹣f(﹣x)=2x3 , 且當(dāng)x≥0時(shí),f′(x)>3x2 , 則不等式f(x)﹣f(x﹣1)>3x2﹣3x+1的解集是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2), 是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線,其中交圓于, 兩點(diǎn), 交橢圓于另一個(gè)點(diǎn),求面積取得最大值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2.
(1)求證:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH= HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】懷化某中學(xué)對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試,已知高三某個(gè)班有學(xué)生30人,測試立定跳遠(yuǎn)的成績用莖葉圖表示如圖(單位:cm)
男生成績?cè)?95cm以上(包含195cm)定義為“合格”,成績?cè)?95cm以下(不包含195cm)定義為“不合格”,女生成績?cè)?85cm以上(包含185cm)定義為“合格”,成績?cè)?85cm以下(不包含185cm)定義為“不合格”.
(1)求女生立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù);
(2)若在男生中按成績合格與否進(jìn)行分層抽樣,抽取6人,求抽取成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W(xué)生人數(shù);
(3)若從(2)中抽取的6名學(xué)生中任意選取4個(gè)人參加復(fù)試,求這4人中至少3人合格的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知 , , .
(Ⅰ)求b和c;
(Ⅱ)求sin(A﹣B)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)從6名同學(xué)中選4名同學(xué)組成一個(gè)代表隊(duì),參加4×400米接力比賽,問有多少種參賽方案?
(2)從6名同學(xué)中選4名同學(xué)參加場外啦啦隊(duì),問有多少種選法?
(3) 4名同學(xué)每人可從跳高、跳遠(yuǎn)、短跑三個(gè)項(xiàng)目中,任選一項(xiàng)參加比賽,問有多少種參賽方案?
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