【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù).
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若,且,求證:.
【答案】(1)(2)見證明
【解析】
解法一:(1)去掉絕對值符號,利用分類討論思想求解不等式的解集即可;(2)要證成立,只需證成立,利用分析法證明求解即可.解法二:(1)作出函數(shù)g(x)=f(2x)﹣f(x+1)利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可;(2)利用綜合法轉(zhuǎn)化求解證明成立.
解法一:(1)因為,
所以,
由得:或或
解得或或,所以不等式的解集為:.
(2),又,,
所以要證成立,
只需證成立,
即證,
只需證成立,
因為,,所以根據(jù)基本不等式
成立,
故命題得證.
解法二:(1)因為,
所以
作出函數(shù)的圖像(如下圖)
因為直線和函數(shù)圖像的交點坐標為, .
所以不等式的解集為:
(2),
又,
所以,,
故
所以成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校200名高二學生平均每天體育鍛煉的時間進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表,將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”.
平均每天鍛煉的時間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表;并通過計算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關(guān)?
鍛煉不達標 | 鍛煉達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
(2)在“鍛煉達標”的學生中,按男女用分層抽樣方法抽出5人,進行體育鍛煉體會交流,
(。┣筮@5人中,男生、女生各有多少人?
(ⅱ)從參加體會交流的5人中,隨機選出3人作重點發(fā)言,求選出的這3人中至少有1名女生的概率.
參考公式:,其中.
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設(shè)函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿對角線BD將△BCD折起,使點C移到C′點,且C′點在平面ABD上的射影O恰在AB上.
(1)求證:BC′⊥平面AC′D;
(2)求點A到平面BC′D的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,,,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得平面與平面所成銳二面角為?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線,
(1)求證:直線恒過定點;
(2)判斷直線被圓截得的弦長何時最長,何時最短?并求截得的弦長最短時,求的值以及最短長度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 若為真命題,則,均為假命題;
B. 命題“,”的否定是“,”;
C. 等比數(shù)列的前項和為,若“”則“”的否命題為真命題;
D. “平面向量與的夾角為鈍角”的充要條件是“”;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,是邊長為4的等邊三角形,,是的中點.
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.
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