(2013•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=e,b=4時(shí),求整數(shù)k的值,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)上存在零點(diǎn);
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,試求a的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x),由a>1,x>0可判斷導(dǎo)數(shù)符號,從而得到函數(shù)的單調(diào)性;
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)區(qū)間及最小值,由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性即可求得符合條件的整數(shù)k;
(3)存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,等價(jià)于當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),|f(x)max-f(x)min|=f(x)max-f(x)min≥e-1,利用導(dǎo)數(shù)易求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最小值f(0),而f(x)max=max{f(-1),f(1)},作差后構(gòu)造函數(shù)可得f(x)max=f(1),從而有f(1)-f(0)≥e-1,再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可求得a的范圍;
解答:解:(1)f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,
由于a>1,故當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),lna>0,ax-1>0,所以f'(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)f(x)=ex+x2-x-4,∴f′(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0,
當(dāng)x>0時(shí),ex>1,∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù);
同理,f(x)是(-∞,0)上的減函數(shù).
f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0,
故當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi),∴k=1滿足條件;
f(0)=-3<0,f(-1)=
1
e
-2<0,f(-2)=
1
e2
+2>0
,當(dāng)x<-2時(shí),f(x)>0,
故當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(-2,-1)內(nèi),∴k=-2滿足條件.
綜上所述,k=1或-2.
(3)f(x)=ax+x2-xlna-b,存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,
等價(jià)于當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),|f(x)max-f(x)min|=f(x)max-f(x)min≥e-1,
f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,
①當(dāng)x>0時(shí),由a>1,可知ax-1>0,lna>0,∴f'(x)>0;
②當(dāng)x<0時(shí),由a>1,可知 ax-1<0,lna>0,∴f'(x)<0;
③當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0.
∴f(x)在[-1,0]上遞減,在[0,1]上遞增,
∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)min=f(0)=1-b,f(x)max=max{f(-1),f(1)},
f(1)-f(-1)=(a+1-lna-b)-(
1
a
+1+lna-b)=a-
1
a
-2lna
,
設(shè)g(t)=t-
1
t
-2lnt(t>0)
,因?yàn)?span id="awgqces" class="MathJye">g′(t)=1+
1
t2
-
2
t
=(
1
t
-1)2≥0(當(dāng)t=1時(shí)取等號),
g(t)=t-
1
t
-2lnt
在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,而g(1)=0,
∴當(dāng)t>1時(shí),g(t)>0,∴當(dāng)a>1時(shí),a-
1
a
-2lna>0
,
∴f(1)>f(-1),∴f(1)-f(0)≥e-1,
∴a-lna≥e-1,即a-lna≥e-lne,
設(shè)h(a)=a-lna(a>1),則h′(a)=1-
1
a
=
a-1
a
>0

∴函數(shù)h(a)=a-lna(a>1)在(1,+∞)上為增函數(shù),
∴a≥e,即a的取值范圍是[e,+∞).
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識,通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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x=
t
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(2,5)
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πx
6
+
π
3
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OA
OB
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an+12
an
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(1)判斷數(shù)列{
an+1
an
}
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(2)求an
(3)當(dāng)a=1時(shí),令bn=
nan+2
an
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