Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 求證：x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知， 恒成立

令 ，則 ，

﹣（2x+1）＜0，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，

故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

∴g（x）max=g（1）=2a﹣2∴由f'（x）≤0恒成立可得a≤1．

即當f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減時，a的取值范圍是（﹣∞，1]．

（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1，x2，不妨設0＜x1＜x2．

由（Ⅰ）可知a＞1，且f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，

由①﹣②得： ∴ ∴ ，即 ，

由①+②得： ，

∴

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到f′（x）≤0恒成立，令 ，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到g（x）max≤0，求出a的范圍即可；（Ⅱ）根據(jù)f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，得到：x1+x2的解析式，從而證明結(jié)論即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．