Question

已知向量

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，函數(shù)f(x)=1-

m

•

n

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)解析式為2sin（2x-

π

6

），求出最小正周期，再由2kπ -

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可求得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由于x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得 2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，從而求得2sin（2x-

π

6

）的范圍，即可求得值域．

解答：解：（1）由于函數(shù)f(x)=1-

m

•

n

=1-（2cos²x-2

3

sinxcosx）=1-（1+cos2x-

3

sin2x）=
 2（

3

2

sin2x -

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
故函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π．
令 2kπ -

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ -

π

6

≤  x ≤ kπ+

π

3

，k∈z，
故單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ -

π

6

 ， kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）由于x∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，故-1≤sin（2x-

π

6

）≤

1

2

，-2≤2sin（2x-

π

6

）≤1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的值域為[-2，1]．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．