Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，若存在正實數(shù)滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)求出a的值，再進行檢驗；

（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性；；

（3）結(jié)合已知條件與對數(shù)的運算性質(zhì)，得．令，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得，進而得證．

（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以，解得．

驗證：當(dāng)時，，易得在處取得極大值．

（2）因為，

所以．

①若，則當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

②若，，

當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當(dāng)時，，

因為，所以，

即，所以．

令，，則，

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為． 所以，

即，所以或．

因為為正實數(shù)，所以．

當(dāng)時，，此時不存在滿足條件，

所以．