Question

【題目】如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、．

（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明為定值；

（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由題意知，橢圓離心率為=，及橢圓的定義得到又2a+2c=，解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；

（2）設(shè)點P（x0，y0），根據(jù)斜率公式求得k1、k2，把點P（x0，y0）在雙曲線上，即可證明結(jié)果；

（3）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則可求出直線CD的方程為y=（x﹣2），聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，求得λ的值．

（1）由題意知，橢圓離心率為=，

得，又2a+2c=，

所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（±2，0），

因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)點P（x0，y0），

則k1=，k2=，

∴k1k2==，

又點P（x0，y0）在雙曲線上，

∴，即y02=x02﹣4，

∴k1k2==1．

（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立，

則由（2）知k1k2=1，

∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=（x﹣2），

由方程組消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則由韋達(dá)定理得，，

∴AB==，

同理可得CD===，

∵|AB|+|CD|=λ|AB||CD|，

∴λ==﹣==，

∴存在常數(shù)λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB||CD|恒成立．