Question

【題目】已知函數(shù)圖象的一條切線為.

（1）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖象恒與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M(，0)，N(，0)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式得，再求的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)b討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，進(jìn)而得單調(diào)性，(2)先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為+>2，再構(gòu)造函數(shù)，x∈(1，2)，利用導(dǎo)數(shù)易得(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，即得()>(1)=0，即()>(2)，最后根據(jù)()=()，證得結(jié)論成立.

詳解：（1），設(shè)切點(diǎn)，則切線斜率

∴，即切點(diǎn)，故，

∴

∴

①當(dāng)時(shí)，，∴增區(qū)間，無減區(qū)間；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得

∴增區(qū)間，減區(qū)間

（2）依題意及（1）得函數(shù)，則，

∴當(dāng)0<x<1時(shí)，；當(dāng)x>1時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞減，

∴

∵函數(shù)的圖象恒與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M(，0)，N(，0)，

且當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于∞，當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，趨近于∞，

∴1m>0，m<1，且≠，

故不妨設(shè)<，則0<<1<．

要證()<0，需證>1，即+>2，

當(dāng)≥2時(shí)，顯然成立．

當(dāng)1<<2時(shí)，令，x∈(1，2)，

∵，∴(x)=ln xln(2x)2x+2，

=+2=>0，x∈(1，2)，

∴(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，∴()>(1)=0，即()>(2)，

又由題意知()=()，∴()>(2)．

∵在(0，1)上單調(diào)遞增，∈(0，1)，2∈(0，1)，

∴>2，即+>2．綜上可得，+>2，即證．