Question

【題目】已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，直線(xiàn)的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值和最大值；

（2）直線(xiàn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)截曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)等于，求的值.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為，最大值；（2）.

【解析】

（1）將曲線(xiàn)和直線(xiàn)的方程均化為普通方程，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得的最小值和最大值；

（2）求得直線(xiàn)的方程，求出圓心到直線(xiàn)的方程，利用勾股定理求得直線(xiàn)截曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，由，得曲線(xiàn)是圓的部分，如圖所示，

將直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程化為，

由圖得，當(dāng)與重合時(shí)，取最小值；

又曲線(xiàn)的圓心到直線(xiàn)的距離為，半徑，則的最大值為；

（2）曲線(xiàn)，直線(xiàn)，

由于直線(xiàn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)的方程為，即，

圓心到直線(xiàn)的距離，

由圓的半徑為，直線(xiàn)截圓的弦長(zhǎng)等于，，即，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)均合題意，.