已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意n∈N*,都有an>0且Sn=
(an-1)(an+2)
2
,令bn=
lnan+1
lnan

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)使乘積b1•b2…bk為整數(shù)的k(k∈N*)叫“龍數(shù)”,求區(qū)間[1,2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和.
分析:(1)由Sn=
(an-1)(an+2)
2
=
an2+an-2
2
,能夠推導(dǎo)出數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由bn=
lnan+1
lnan
=
ln(n+2)
ln(n+1)
,知b1×b2×…×bk=log2(k+2).令log2(k+2)=m,則k=2m-2,(m為整數(shù)),由此能求出區(qū)間[1,2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和.
解答:(1)解:由于Sn=
(an-1)(an+2)
2
=
an2+an-2
2
,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=
a12+a1-2
2
,…(1分)
整理得a12-a1-2=0,
解得a1=2或a1=-1.
∵an>0,
∴a1=2.…(2分)
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
an2+an-2
2
-
an-12+an-1-2
2
,…(3分)
化簡得an2-an-12-an-an-1=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
∵an>0,
∴an-an-1=1.…(5分)
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.
∴an=2+(n-1)=n+1.…(6分)
(2)解:∵bn=
lnan+1
lnan
=
ln(n+2)
ln(n+1)

∴b1×b2×…×bk
=
ln3
ln2
×
lm4
ln3
×…×
ln(k+2)
ln(k+1)

=
ln(k+2)
ln2

=log2(k+2).…(8分)
令log2(k+2)=m,則k=2m-2,(m為整數(shù)),…(9分)
由1≤2m-2≤2012,得3≤2m≤2014,
∴m=1,2,3,4,…,10.
∴在區(qū)間[1,2012]內(nèi)的k值為22-2,23-2,…,210-2,…(10分)
其和為(22-2)+(23-2)+…+(210-2)
=(22+23+…+210)-2×9
=
22×(1-29)
1-2
-18

=2026.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查區(qū)間[1,2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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