Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性
（Ⅱ）若不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0對(duì)x∈[-1，0]都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷，即可得到答案；
（Ⅱ）對(duì)底數(shù)a分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，分別研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”去掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的恒成立問(wèn)題，利用參變量分離法，求出分離后函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∵f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0可化為f(

k

ax

+2a)＜-f(-ax)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（-a^x）=f（a^x），
∴不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0等價(jià)于f(

k

ax

+2a)＜f(ax)，
由題意，f(x)=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
①當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x是R上的增函數(shù)，則f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＞

k

ax

+2a?k＜(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2對(duì)x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵a＞1，-1≤x≤0，
∴

1

a

≤t≤1，
令u=（a^x-a）²-a²，則u=（t-a）²-a²在[

1

a

，1]上是減函數(shù)，
∴u_min=1-2a，
∴k＜u_min=1-2a，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1-2a）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=a^x是R上的減函數(shù)，則f（x）是R上的減函數(shù)，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＜

k

ax

+2a?k＞(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2對(duì)x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵0＜a＜1，-1≤x≤0，
∴1≤t≤

1

a

，
令u=（a^x-a）²-a²，
則u=（t-a）²-a²在[1，

1

a

]上是增函數(shù)，
∴umax=

1

a2

-2，
∴k＞umax=

1

a2

-2
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

1

a2

-2，+∞)．
綜合①②，實(shí)數(shù)k的取值范圍是：當(dāng)a＞1時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍（-∞，1-2a）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍(

1

a2

-2，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的兩大基本性質(zhì)之一的函數(shù)的奇偶性．用定義判斷函數(shù)的奇偶性主要兩個(gè)基本步驟，第一步判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，同時(shí)考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離的方法求解．屬于中檔題．