Question

一個(gè)袋子中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球（m＞n≥4），它們除顏色不同外，其余都相同，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球．
（1）若取出兩個(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍，求證：m必為奇數(shù)；
（2）若取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)顏色不同的概率，求滿足m+n≤20的所有數(shù)組（m，n）．

Answer 1

證明：（1）由題意可得：從中任取兩個(gè)球的不同取法共有：C_m+n²種，
取出兩個(gè)紅球的不同取法有：C_m²=

m(m-1)

2

，
所以取出兩個(gè)紅球的概率為：

C 2m

C 2m+n

；
取出一紅一白兩個(gè)球的不同取法為：C_m¹C_n¹，
所以取出一紅一白兩個(gè)球的概率為：

C 1m C 1n

C 2m+n

，
又因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍，
所以

C 2m

C 2m+n

=k

C 1m C 1n

C 2m+n

，即m-1=2nk，
因?yàn)?nk為偶數(shù)，
所以m-1為偶數(shù)，即m為奇數(shù)．
（2）由題意可得：取出兩個(gè)球顏色相同即兩個(gè)球都是紅色或者都是白色，
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)白球的不同取法有：

C

2n

 =

n(n-1)

2

，
所以取出兩個(gè)白球的概率為：

C 2n

C 2m+n

，
由（1）可得：取出兩個(gè)紅球的概率為：

C 2m

C 2m+n

；
所以取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于

C 2m + C 2n

C 2m+n

；
取出兩個(gè)球的顏色不同即兩個(gè)球的顏色是一紅一白，
由（1）可得：取出一紅一白兩個(gè)球的概率為：

C 1m C 1n

C 2m+n

．
因?yàn)槿〕鰞蓚�(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)顏色不同的概率，
所以

C 2m + C 2n

C 2m+n

=

C 1m C 1n

C 2m+n

，即（m-n）²=m+n，
因?yàn)閙＞n≥4，
所以m+n＞8，
又因?yàn)閙+n≤20，
所以2

2

∠m-n≤

20

＜5，m-n的取值只可能是3，4，
所以相應(yīng)m+n的取值分別是9，16，
可得 

m=6 n=3

或

m=10 n=6

，
因?yàn)閙＞n≥4，
所以（m，n）的數(shù)組值為（10，6）．