Question

【題目】已知正方形的邊長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上．

（1）若為的中點(diǎn)，且直線，由三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；

（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時(shí)二面角的余弦值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）利用中位線不難得到的位置，連接交于，則，證得線面平行；

（2）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面所成角去列方程，解得值，然后確定二面角的兩個(gè)面的法向量，利用公式求解即可．

（1）因?yàn)橹本�平面，

故點(diǎn)在平面內(nèi)也在平面內(nèi)，

所以點(diǎn)在平面與平面的交線上（如圖所示）

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，

所以，，所以點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且

連結(jié)交于，因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以是的中點(diǎn)

連結(jié)，因?yàn)?/span>為的中位線，所以，

又因?yàn)?/span>平面，所以直線平面.

（2）由已知可得，，，所以平面，

所以平面平面，取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，，

所以，，

設(shè)，則，

設(shè)平面的法向量，則，

取，則，，所以，

與平面所成的角為，所以，

所以，所以，解得或，

所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，

取的中點(diǎn)，則為平面的法向量，因?yàn)?/span>，

所以，，

設(shè)二面角的大小為，

所以，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，平面平面，

所以當(dāng)時(shí)，為鈍角，所以.

當(dāng)時(shí)，為銳角，所以.