Question

已知a，b，c∈R，f(x)＝ax²＋bx＋c．

(Ⅰ)若a≠0，且f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0對(duì)應(yīng)方程兩實(shí)根平方和為10，圖象過(guò)點(diǎn)(0，3)，求函數(shù)f(x)的解析式．

(Ⅱ)若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上最大值為2，最小值為，證明：a≠0且．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(Ⅰ)∵，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為，　�、� 　　∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以，　　�、� 　　設(shè)方程的兩根為，對(duì)應(yīng)方程兩實(shí)根平方和為10得＝　　　�、� 　　有①②③得：，∴函數(shù)的解析式為－6分; 　　(Ⅱ)由得，，假設(shè)或． 　�、儆�，得，依題設(shè)可知，因而函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，在上，的最大值為，最小值為，于是，由此得到得到矛盾，故． 　�、谟�得，于是，區(qū)間位于拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)或右側(cè)．故函數(shù)在上單調(diào)，其最大值為，最小值為，由①知，這是不可能的，綜合①②可知，原假設(shè)不成立，故且．　　　　8分