已知函數(shù)f(x)=λx2+λx,g(x)=λx+lnx,h(x)=f(x)+g(x),其中λ∈R,且λ≠0.
(1)當(dāng)λ=-1時(shí),求函數(shù)g(x)的最大值;
(2)求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)φ(x)=
f(x),x≤0
g(x),x>0.
若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x,存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x),使得φ′(x)=φ′(t)成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
分析:①令g′(x)=0求出根,判斷兩邊的符號(hào),求出最值
②導(dǎo)數(shù)大于零求出單增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于零求出單調(diào)遞減區(qū)間,注意單調(diào)區(qū)間一定在定義域內(nèi)
③不等式恒成立就是求函數(shù)的最值,注意對(duì)參數(shù)的討論
解答:解:(1)當(dāng)λ=-1時(shí),g(x)=lnx-x,(x>0)
g′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,(x>0)

令g′(x)=0,則x=1,
∴g(x)=lnx-x在(0,1)上單調(diào)遞增,
在(1,+∞)上單調(diào)遞減
∴g(x)max=g(1)=-1
(2)h(x)=λx2+2λx+lnx,
h′(x)=2λx+2λ+
1
x
=
x2+2λx+1
x
,(x>0)
∴當(dāng)λ>0時(shí),h'(x)>0,∴函數(shù)h(x)的增區(qū)間為(0,+∞),
當(dāng)λ<0時(shí),h′(x)=
2λ(x-
-λ-
λ2-2λ
)(x-
-λ+
λ2-2λ
)
x
,
當(dāng)x>
-λ-
λ2-2λ
時(shí),h′(x)<0,函數(shù)h(x)是減函數(shù);
當(dāng)0<x<
-λ-
λ2-2λ
時(shí),h′(x)>0,函數(shù)h(x)是增函數(shù).
綜上得,
當(dāng)λ>0時(shí),h(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)λ<0時(shí),h(x)的增區(qū)間為(0,
-λ-
λ2-2λ
)
,
減區(qū)間為(
-λ-
λ2-2λ
,+∞)
(10分)
(3)當(dāng)x>0,φ′(x)=λ+
1
x
在(0,+∞)上是減函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合A=(λ,+∞);
當(dāng)x<0時(shí),φ′(x)=2λx+λ,
若λ>0時(shí),φ′(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(-∞,λ);
若λ<0時(shí),φ′(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),
此時(shí)φ′(x)的取值集合B=(λ,+∞).
對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x,
①當(dāng)x>0時(shí),∵φ′(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
則在(0,+∞)上不存在實(shí)數(shù)t(t≠x),使得φ′(x)=φ′(t),
則t∈(-∞,0),要在(-∞,0)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x),
使得φ′(x)=φ′(t)成立,必定有A⊆B,∴λ<0;
②當(dāng)x<0時(shí),φ′(x)=2λx+λ在(-∞,0)時(shí)是單調(diào)函數(shù),
則t∈(0,+∞),要在(0,+∞)上存在非零實(shí)數(shù)t(t≠x),
使得φ′(x)=φ′(t)成立,必定有B⊆A,∴λ<0.
綜上得,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(-∞,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,單調(diào)性,值域,屬于難題,在高考中常出現(xiàn)在解答題中最后兩題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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