【題目】已知函數(shù)fx)=exx2ax2+axaR.

1)當a1時,求fx)的極值;

2)若fx)恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】1fx極大值=﹣2,fx極小值e;(2a∈(﹣∞,0)∪{2e}.

【解析】

1)代入a的值,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的極值即可;

2)顯然x2是函數(shù)fx)的一個零點,若fx)恰有兩個零點,則只需yexax恰有1個零點,問題轉(zhuǎn)化為只需gx)=exhxax只有1個交點即可,通過討論a的范圍,結(jié)合函數(shù)的圖象判斷即可.

1a1時,fx)=exx2x2+x

f′(x)=exx1)﹣x+1=(x1)(ex1),

f′(x)>0,解得:x1x0

f′(x)<0,解得:0x1

fx)在(﹣∞,0)遞增,在(0,1)遞減,在(1+∞)遞增,

fx極大值f0)=﹣2,fx極小值f1)=e.

2fx)=exx2ax2+ax=(x2)(exax),

顯然x2是函數(shù)fx)的一個零點,若fx)恰有兩個零點,

則只需yexax恰有1個零點,

即只需gx)=exhxax只有1個交點即可,

a0時,如圖示:

結(jié)合圖象,a0gx)=exhxax只有1個交點,符合題意;

a0時,gx)=exy0無交點,不合題意;

a0時,gx)=exhxax相切時1個交點,

設(shè)切點是Pm,em),則aemi),

emamii),由(i)(ii)解得:P1,e),a2e,符合題意,

綜上,若fx)恰有兩個零點,則a∈(﹣∞,0)∪{2e}.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:

月份

1

2

3

4

5

銷量(百臺)

0.6

0.8

1.2

1.6

1.8

(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測6月份該商場空調(diào)的銷售量;

(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機構(gòu)對其中的500名顧客進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:

有購買意愿對應(yīng)的月份

7

8

9

10

11

12

頻數(shù)

60

80

120

130

80

30

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.

參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),若是函數(shù)的零點,是函數(shù)的零點.

1)比較的大;

2)證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù) 處的切線方程為,求實數(shù)的值;

2)設(shè),當時,求的最小值;

3)求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了更好地貫徹黨的五育并舉的教育方針,某市要對全市中小學(xué)生體能達標情況進行了解,決定通過隨機抽樣選擇幾個樣本校對學(xué)生進行體能達標測試,并規(guī)定測試成績低于60分為不合格,否則為合格,若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%,則該樣本校體能達標為合格.已知某樣本校共有1000名學(xué)生,現(xiàn)從中隨機抽取40名學(xué)生參加體能達標測試,首先將這40名學(xué)生隨機分為甲、乙兩組,其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3:2,測試后,兩組各自的成績統(tǒng)計如下:甲組的平均成績?yōu)?/span>70,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?/span>80,方差為36.

1)估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績;

2)求該樣本校40名學(xué)生測試成績的標準差s;

3)假設(shè)該樣本校體能達標測試成績服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標準差s作為的估計值,利用估計值估計該樣本校學(xué)生體能達標測試是否合格?

(注:1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù);2若隨機變量z服從正態(tài)分布,則,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】健身館某項目收費標準為每次60元,現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動:具體收費標準如下:

消費次數(shù)

1

2

3

不少于4

收費比例

0.95

0.90

0.85

0.80

現(xiàn)隨機抽取了100位會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:

消費次數(shù)

1

2

3

不少于4

頻數(shù)

60

25

10

5

假設(shè)該項目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:

1)估計1位會員至少消費兩次的概率

2)某會員消費4次,求這4次消費獲得的平均利潤;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲,乙二人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球即終止,每個球在每一次被取出的機會是等可能的.

(Ⅰ)求袋中原有白球的個數(shù):

(Ⅱ)求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年春季,某出租汽車公司決定更換一批新的小汽車以代替原來報廢的出租車,現(xiàn)有采購成本分別為萬元/輛和萬元/輛的兩款車型,根據(jù)以往這兩種出租車車型的數(shù)據(jù),得到兩款出租車車型使用壽命頻數(shù)表如下:

1)填寫下表,并判斷是否有的把握認為出租車的使用壽命年數(shù)與汽車車型有關(guān)?

2)從的車型中各隨機抽取車,以表示這車中使用壽命不低于年的車數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

3)根據(jù)公司要求,采購成本由出租公司負責(zé),平均每輛出租車每年上交公司萬元,其余維修和保險等費用自理.假設(shè)每輛出租車的使用壽命都是整數(shù)年,用頻率估計每輛出租車使用壽命的概率,分別以這輛出租車所產(chǎn)生的平均利潤作為決策依據(jù),如果你是該公司的負責(zé)人,會選擇采購哪款車型?

附:.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱柱中,側(cè)面為菱形,且,點E,F分別為的中點.求證:

1)平面平面;

2平面.

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