已知函數(shù)是奇函數(shù),定義域為區(qū)間D(使表達式有意義的實數(shù)x 的集合).
(1)求實數(shù)m的值,并寫出區(qū)間D;
(2)若底數(shù)a>1,試判斷函數(shù)y=f(x)在定義域D內的單調性,并說明理由;
(3)當x∈A=[a,b)(A⊆D,a是底數(shù))時,函數(shù)值組成的集合為[1,+∞),求實數(shù)a、b的值.
考點:
對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點;對數(shù)函數(shù)的值域與最值.
專題:
綜合題;轉化思想.
分析:
(1)由奇函數(shù)的性質,可得f(x)+f(﹣x)=0,代入函數(shù)的解析式,轉化為方程f(x)+f(﹣x)=0在區(qū)間D上恒成立,進而求解;
(2)令,先求出該函數(shù)在定義域D內的單調性,然后利用復合函數(shù)的單調性,求出f(x)的單調性.
(3)首先由A⊆D,求出a、b的范圍,進而結合(2)中的結論,確定函數(shù)f(x)的單調性,然后利用函數(shù)的單調性確定函數(shù)的最值,結合已知,解方程求出a,排除b<1的情況,最終確定b的值.
解答:
解(1)∵y=f(x)是奇函數(shù),
∴對任意x∈D,有f(x)+f(﹣x)=0,即.(2分)
化簡此式,得(m2﹣1)x2﹣(2m﹣1)2+1=0.又此方程有無窮多解(D是區(qū)間),
必有,解得m=1.(4分)
∴.(5分)
(2)當a>1時,函數(shù)上是單調減函數(shù).
理由:令.
易知1+x在D=(﹣1,1)上是隨x增大而增大,在D=(﹣1,1)上是隨x增大而減小,(6分)
故在D=(﹣1,1)上是隨x增大而減小.(8分)
于是,當a>1時,函數(shù)上是單調減函數(shù).(10分)
(3)∵A=[a,b)⊆D,
∴0<a<1,a<b≤1.(11分)
∴依據(jù)(2)的道理,當0<a<1時,函數(shù)上是增函數(shù),(12分)
即,解得.(14分)
若b<1,則f(x)在A上的函數(shù)值組成的集合為,不滿足函數(shù)值組成的集合是[1,+∞)的要求.(也可利用函數(shù)的變化趨勢分析,得出b=1)
∴必有b=1.(16分)
因此,所求實數(shù)a、b的值是.
點評:
本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調性和奇偶性、求函數(shù)值域、恒成立等知識,以及運算求解能力.在解答過程當中,分析問題的能力、運算的能力、問題轉換的能力以及分類討論的能力都得到了充分的體現(xiàn),值得同學們體會反思.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
1 |
lgx |
a |
b |
a |
b |
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆云南省高一上學期期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)用定義證明在上是增函數(shù);
(3)解不等式.
【解析】第一問利用函數(shù)的奇函數(shù)性質可知f(0)=0
結合條件,解得函數(shù)解析式
第二問中,利用函數(shù)單調性的定義,作差變形,定號,證明。
第三問中,結合第二問中的單調性,可知要是原式有意義的利用變量大,則函數(shù)值大的關系得到結論。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年寧夏高三第一次月考理科數(shù)學卷 題型:填空題
已知函數(shù)是奇函數(shù),它們的定域,且它們在上的圖象如圖所示,則不等式的解集是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年寧夏高三第一次月考理科數(shù)學卷 題型:填空題
已知函數(shù)是奇函數(shù),它們的定域,且它們在上的圖象如圖所示,則不等式的解集是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年廣東省汕頭市高一下學期期末考試數(shù)學 題型:選擇題
已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),若對于任意給
定的不等實數(shù)、,不等式
恒成立,則不等式的解集為( ※ )
A. B. C. D.
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