如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且平面，，為的中點，．

(Ⅰ) 求證：//；
(Ⅱ)若， 求二面角的余弦值．

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) .

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，設與的交點，說明為的中位線，//，從而//；(Ⅱ) 用定義法與向量法求解，用定義法，必須作出二面角的平面角，在利用相似三角形對應邊成比例及直角三角形中三角函數(shù)的定義求解；用向量法，需要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，本題以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系最佳，求平面的法向量與平面的一個法向量為， 利用公式求解.
試題解析：（Ⅰ）證明： 連接，設與相交于點，連接，

∵ 四邊形是平行四邊形，∴點為的中點．
∵為的中點，∴為的中位線，
∴//，             2分
∵，
∴//．          4分
(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 則平面，故，
又, 且，
∴ ．               6分
取的中點，連接，則//，且 ．
∴ ．
作，垂足為，連接，由于，且，
∴，∴ ．
∴為二面角的平面角．    9分
由∽，得，得，
在中，．
∴ 二面角的余弦值為

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；
(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°.

(1)求證：面PCD⊥面PBD；
(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；
(3)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點E在棱PA上的位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝.

(1)求證：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，∥，⊥，，點在棱上，且．

（1）當時，求證：∥面；
（2）若直線與平面所成角為，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖在棱長為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點，且AM=BN=

（1）求||的最小值；
（2）當||達到最小值時，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點．

(1)求證：；
(2)在平面內(nèi)求一點，使平面，并證明你的結(jié)論；
(3)求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點．
（1）求證：E、F、D、B共面；
（2）求點A1到平面的BDEF的距離；
（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角．

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