Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

x-y-1≥0 2x-y-6≤0 x+y-k-2≥0

且x²+y²的最小值為m，當(dāng)9≤m≤25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)z=x²+y²，利用幾何意義：點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方來求最值，只需求出可行域內(nèi)滿足最小值的點(diǎn)A（x，y）關(guān)于k的表達(dá)式，再代入已知條件9≤m≤25，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，
其中目標(biāo)函數(shù)：z=x²+y²，
表示可行域內(nèi)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且為l₁：x-y-1=0和l₂：x+y-k-2=0
的交點(diǎn)時(shí)，z取得最小值
此時(shí)P（

k+3

2

，

k+1

2

），z=

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²
∵x²+y²的最小值為m，且9≤m≤25，
∴9≤

1

4

（k+3）²+

1

4

（k+1）²≤25
解之得k∈[

17

-2，5]
故答案為：[

17

-2，5]

點(diǎn)評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．解決時(shí)，首先要解決的問題是明白題目中目標(biāo)函數(shù)的意義．