Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為且滿足，數(shù)列中，對任意正整數(shù)

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)及公比的值，若不存在，請說明理由；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見解析

【解析】試題分析：

(1)由通項公式與前n項和的關(guān)系可得數(shù)列的通項公式為；

(2)假設(shè)存在滿足題意的實數(shù) ，利用等比數(shù)列的定義得到關(guān)于 的方程，解方程可得；

(3)求得數(shù)列的前n項和，分類討論n的奇偶性即可證得題中不等式的結(jié)論.

試題解析：

(1)當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ，

即，

也適合，所以.

(2)法一：

假設(shè)存在實數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為.

因為對任意正整數(shù),，

可令n=2,3,得 .

因為是等比數(shù)列，所以

， 解得

從而 （）

所以存在實數(shù)，公比為.

法二：

因為對任意整數(shù),， 所以，

設(shè) ，則，

所以存在，且公比.

(3)因為，所以 ，

所以，即，

于是

當(dāng)是奇數(shù)時: ，關(guān)于遞增，

得 .

當(dāng)是偶數(shù)時: ,關(guān)于遞增,

得 .

綜上， .