設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），證明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函數(shù)f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相應(yīng)的x值．
分析：（1）利用反證法進行證明，假設(shè)
a
和
b
平行，根據(jù)共線向量的坐標關(guān)系建立等式，然后找出矛盾即可；
（2）根據(jù)數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）=
a
•（
b
-2
c
），整理成Asin（ωx+φ）+B形式，從而可求出最大值，并求出相應(yīng)的x值即可．
解答：解：（1）假設(shè)
a
和
b
平行，則cosxsinx-sinx（cosx+2
3
）=0
則2
3
sinx=0即sinx=0，
而x∈（0，
π
2
）時，sinx＞0，矛盾．
∴
a
和
b
不可能平行；
（2）f（x）=
a
•（
b
-2
c
）=
a
•
b
-2
a
•
c

=cos2x+2
3
cosx+sin2x-2sinx
=1-2sinx+2
3
cosx
=1-4sin（x-
π
3
）
所以f（x）max=5，x=2kπ-
π
6
（k∈Z）．
點評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，以及平行向量與共線向量的坐標關(guān)系，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（
3
2
，
1
2
），函數(shù)f（x）=
a
•
b
+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當f（a）=
9
5
，且
π
6
＜a＜
2π
3
時，求sin（2a+
2π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：鎮(zhèn)江一模 題型：解答題

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，證明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（cosx+2
3
，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，
π
2
），證明：
a
和
b
不可能平行；
（2）若
c
=（0，1），求函數(shù)f（x）=
a
•（
b
-2
c
）的最大值，并求出相應(yīng)的x值．

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