【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈(0,1],|f(x)|≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若a= ,證明:ex﹣1f(x)≥x.
【答案】
(1)解:a=1時(shí),函數(shù)f(x)=x2﹣lnx, .
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
則由f'(x)>0得 ,由f'(x)<0得 ,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)解:由已知得f′(x)=2ax﹣ .
若f′(x)≤0在(0,1]上恒成立,則2a≤ 恒成立,所以2a≤( )min=1,即a≤ .
①a≤ 時(shí),f(x)在(0,1]單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=a,與|f(x)|≥1恒成立矛盾.
②當(dāng)a> 時(shí),令f′(x)=2ax﹣ =0,得x= ∈(0,1].
所以當(dāng)x∈(0, )時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈( ,1]時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)min=f( )=a( )2﹣ln = + ln2a.
由|f(x)|≥1得, + ln2a≥1,所以a≥ .
綜上,所求a的取值范圍是[ ,+∞)
(3)解:證明:a= 時(shí),由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1.
令h(x)= ,則h′(x)= .
所以當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)>0,h(x)單增;當(dāng)x≥1時(shí),h′(x)<0,h(x)單減.
所以h(x)≤h(1)=1.…(13分)
所以f(x)≥h(x),即ex﹣1f(x)≥x
【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)求出導(dǎo)數(shù),對(duì)a討論,①a≤ 時(shí),②當(dāng)a> 時(shí),求出單調(diào)區(qū)間,可得最小值,由恒成立思想即可得到a的范圍;(3)a= 時(shí),由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1,令h(x)= ,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,運(yùn)用單調(diào)性即可得證.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線的切線經(jīng)過點(diǎn),求的方程;
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面是邊長為1的正方形,高AA1= ,點(diǎn)A是平面α內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),AA1與α所成角為 ,點(diǎn)C1在平面α內(nèi)的射影為P,當(dāng)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1按要求運(yùn)動(dòng)時(shí)(允許四棱柱上的點(diǎn)在平面α的同側(cè)或異側(cè)),點(diǎn)P所經(jīng)過的區(qū)域的面積= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為迎接2016年“猴”年的到來,某電視臺(tái)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng),參與者需先后回答兩道選擇題,問題A有三個(gè)選項(xiàng),問題B有四個(gè)選項(xiàng),每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,正確回答問題A可獲獎(jiǎng)金1千元,正確回答問題B可獲獎(jiǎng)金2千元.活動(dòng)規(guī)定:參與者可任意選擇回答問題的順序,如果第一個(gè)問題回答正確,則繼續(xù)答題,否則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)終止.假設(shè)某參與者在回答問題前,選擇每道題的每個(gè)選項(xiàng)的機(jī)會(huì)是等可能的.
(Ⅰ)如果該參與者先回答問題A,求其恰好獲得獎(jiǎng)金1千元的概率;
(Ⅱ)試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大.
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【題目】某公司計(jì)劃在迎春節(jié)聯(lián)歡會(huì)中設(shè)一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng):在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣號(hào)
碼分別為1,2,3,…,10的十個(gè)小球;顒(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球,三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金30元;三球號(hào)碼都連號(hào)為二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金60元;三球號(hào)碼分別為1,5,10為一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金240元;其余情況無獎(jiǎng)金。
(1)求員工甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金ξ的分布列與期望;
(2)員工乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),他得獎(jiǎng)次數(shù)的方差是多少?
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【題目】某班從6名班干部(其中男生4人,女生2人)中選3人參加學(xué)校學(xué)生會(huì)的干部
競(jìng)選.
(Ⅰ)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)在男生甲被選中的情況下,求女生乙也被選中的概率.
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【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,從該地區(qū)調(diào)查了500位老人,結(jié)果如下:
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿提供幫助的老年人的比例;
(2)能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?提供幫助的老年人的比例?說明理由.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值.
(1)求的值;
(2)設(shè),
證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè),是否存在實(shí)數(shù)m和nm<n,使的定義域和值域分別為,如果存在,求出m和n的值.若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x),對(duì)任意的x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 且x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)
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