在四面體PABC中，已知∠APB=∠BPC=∠CPA=
π
2
，且各棱長(zhǎng)的和為
2
+1，則這個(gè)四面體體積的最大值是
 
．
分析：設(shè)出PA，PB，PC，求出AB，BC，AC，表示出棱長(zhǎng)的和，和體積，利用基本不等式即可求解．
解答：精英家教網(wǎng)解：設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，則AB=
a2+b2
，AC=
a2+c2
，BC=
b2+c2

所以a+b+c+
a2+b2
+
a2+c2
+
b2+c2
=
2
+1
2
+1≥3
3abc
+3
2
3abc

∴abc≤
1
27

四面體體積的最大值為：
1
162
（此時(shí)a=b=c=
1
3
）
故答案為：
1
162
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式求最大值，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在四面體PABC中，各棱長(zhǎng)均為2，M為棱AB的中點(diǎn)，則異面直線PA和CM所成角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四面體PABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，分別是棱AP，AC，BC的中點(diǎn)．
（1）若G為PB的中點(diǎn)，且PC⊥AB，求證：四邊形DEFG為矩形；
（2）過(guò)D，E，F(xiàn)的平面與PB交于G，試確定四邊形DEFG的形狀？并說(shuō)明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點(diǎn)．
（1）求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=
2
，求四面體PABC的體積．

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