Question

長方形ABCD，AB=2

2

，BC=1，以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程：
（2）過點p（0，2）的直線m與（1）中橢圓只有一個公共點，求直線m的方程：
（3）過點p（0，2）的直線l交（1）中橢圓與M，N兩點，是否存在直線l，使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得點A，B，C的坐標，設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+2，由

y=kx+2 x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，直線m與橢圓只有一個公共點，利用韋達定理能求出直線m的方程．
（3）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點，推斷則

OM

⊥

ON

，得知x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)x₁x₂求得y₁y₂代入即可求得k，最后檢驗看是否符合題意．

解答：解：（1）由題意可得點A，B，C的坐標分別為（-

2

，0），（

2

，0），（

2

，1）．
設(shè)橢圓的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則2a=AC+BC，
即2a=

(2 2 )2+1

+1=4＞2

2

，所以a=2．
所以b²=a²-c²=4-2=2．
所以橢圓的標準方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
∵直線m與橢圓只有一個公共點，
∴△=64k²-16（k²+1）=0，解得k=±

3

3

．
∴直線m的方程為y=

3

3

x，或y=-

3

3

x．
（3）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由

y=kx+2 x2+2y2=4

，得（1+2k²）x²+8kx+4=0．
因為M，N在橢圓上，
所以△=64k²-16（1+2k²）＞0．
設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

4

1+2k2

，
若以MN為直徑的圓恰好過原點，則

OM

⊥

ON

，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
所以，

4(1+k2)

1+2k2

-

16k2

1+2k2

+4=0，即

8-4k2

1+2k2

=0，
得k²=2，k=±

2

．
經(jīng)驗證，此時△=48＞0．
所以直線l的方程為y=

2

x+2，或y=-

2

x+2．
即所求直線存在，其方程為y=

2

x+2，或y=-

2

x+2．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的關(guān)系．在設(shè)直線方程時一定要看斜率的存在情況，最后還要檢驗斜率k是否符合題意．