Question

已知函數(shù)f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

．
（1）請在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）x≤0的圖象部分可由圖象變換作出；x＞0的部分為拋物線的一部分．
（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點．

解答：解：（1）f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

，函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：
由圖象得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞）．
（2）作出直線y=m，函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點等價于函數(shù)y=m與函數(shù)f（x）的圖象恰有三個不同公共點．
由函數(shù)f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

的圖象易知：m∈(

1

2

，1)．
故m的取值范圍為（

1

2

，1）．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的作法、函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點問題，本題的解決過程充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用．