Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線被圓截得的弦長為.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)圓和軸相交于A，B兩點，點P為圓上不同于A，B的任意一點，直線，交軸于M，N兩點．當(dāng)點P變化時，以為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）圓的方程為

（Ⅱ）當(dāng)點P變化時，以為直徑的圓經(jīng)過圓內(nèi)一定點。

【解析】（1）由得

所以圓心，所以圓心到直線的距離為

   

所以圓的方程為

（2）由（1）可知,

由題意可知直線PA的斜率存在且不為零，可設(shè)為

所以直線PA的方程為，令x=0得y=6k，

因為，所以直線PB的方程為，令x=0得y=，

所以MN的中點，不妨設(shè)，則

所以以M，N為直徑的圓方程為

化簡得，即

令，解得

經(jīng)檢驗不在圓內(nèi)，在圓內(nèi)

所以當(dāng)點P變化時，以為直徑的圓經(jīng)過圓內(nèi)一定點。