已知函數(shù)f(x)=lnax-
x-a
x
(a≠0)
(Ⅰ)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值
(Ⅱ)求證:對于任意正整數(shù)n均有1+
1
2
+
1
3
+
…+
1
n
1
2
ln
(2e)2
n!
,其中e為自然對數(shù)的底數(shù);
(Ⅲ)當a=1時,是否存在過點(1,-1)的直線與函數(shù)y=f(x)的圖象相切?若存在,有多少條?若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),對a進行討論,確定函數(shù)f(x)的定義域,可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值;
(Ⅱ)取a=2,證明
1
x
1
2
ln
2e
x
(x>0),取x=1,2,3…,n,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)假設(shè)存在這樣的切線,確定切線方程,將切點坐標代入,再構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性,即可的符合條件的切線.
解答:(Ⅰ)解:由題意f(x)=
x-a
x2
.      …(1分)
當a>0時,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),此時函數(shù)在(0,a)上是減函數(shù),在(a,+∞)上是增函數(shù),
fmin(x)=f(a)=lna2,無最大值. …(3分)
當a<0時,函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0),此時函數(shù)在(-∞,a)上是減函數(shù),在(a,0)上是增函數(shù),
fmin(x)=f(a)=lna2,無最大值.…(5分)
(Ⅱ)證明:取a=2,由(Ⅰ)可知:f(x)=ln2x-
x-2
x
≥f(2)=2ln2
,
2
x
≥1+ln4-ln2x=ln
2e
x
,∴
1
x
1
2
ln
2e
x
,(x>0)
取x=1,2,3…,n,則1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
ln
(2e)n
n!
.…(10分)
(Ⅲ)解:假設(shè)存在這樣的切線,設(shè)其中一個切點T(x0,lnx0-
x0-1
x0
),
∴切線方程:y+1=
x0-1
x02
(x-1)
,將點T坐標代入得:lnx0-
x0-1
x0
+1=
(x0-1)2
x02
,
即lnx0+
3
x0
-
2
x02
-1=0
,…①
設(shè)g(x)=lnx+
3
x
-
1
x2
-1
,則g(x)=
(x-1)(x-2)
x3

∵x>0,∴g(x)在區(qū)間(0,1),(2.+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(1,2)上是減函數(shù),
故g(x)極大值=g(1)=1>0,g(x)極小值=g(2)=ln2+
1
4
>0

g(
1
3
)=ln
1
3
+9-9-1=-ln3-1<0
,(也可以求g(
1
4
)
等等)
注意到g(x)在其定義域上的單調(diào)性,知g(x)=0僅在(
1
3
,1)
內(nèi)有且僅有一根
方程①有且僅有一解,故符合條件的切線有且僅有一條.…(15分)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查不等式的證明,考查曲線的切線方程,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度大.
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2(x-1)
x+1
恒成立;
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
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(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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