Question

（本題滿分12分） 已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)且時，試比較的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時在上沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)時，在上有一個極值點(diǎn)（2）（3）當(dāng)0<x<e時,當(dāng)e<x<e²時

【解析】

試題分析：（Ⅰ），當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時在上沒有極值點(diǎn)，

當(dāng)時，在上有一個極值點(diǎn)．-----3分

（Ⅱ）∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，---------5分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．------- 7分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調(diào)減

 ∴0<x<y<e²時， 即

  當(dāng)0<x<e時，1-lnx>0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴

  當(dāng)e<x<e²時，1-lnx<0，∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分

考點(diǎn)：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求極值最值單調(diào)區(qū)間

點(diǎn)評：不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。