Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=

2

，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

（1）正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，PA=1，PB=PD=

2

，
所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
根據(jù)直線(xiàn)和平面垂直的判定定理，
有PA⊥平面ABCD．
（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB、AD、AP分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則

AC

=(1，1，0)，

AE

=(0，

2

3

，

1

3

)，
由（1）知

AP

為平面ACD的法向量，

AP

=(0，0，1)，
設(shè)平面ACE的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

a+b=0 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=6，則b=-3，a=3，

n

=(3，-3，6)，…（4分）
設(shè)二面角D-AC-E的平面角為θ，則|cosθ|=

| n • AP |

| n || AP |

=

6

3

，
又有圖可知，θ為銳角，
故所求二面角的余弦值為

6

3

．
（3）設(shè)

PF

=λ

PC

(λ∈[0，1])，則

PF

=λ(1，1，-1)=(λ，λ，-λ)，

BF

=

BP

+

PF

=(λ-1，λ，1-λ)，
若BF∥平面ACE，則

BF

⊥

n

，即

BF

•

n

=0，（λ-1，λ，1-λ）•（3，-3，6）=0，
計(jì)算得λ=

1

2

所以，存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，即當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面ACE．…（8分）