Question

已知的展開式中，某一項的系數(shù)是它前一項系數(shù)的2倍，而又等于它后一項系數(shù)的，
（Ⅰ）求展開后所有項系數(shù)之和及所有項的二項式系數(shù)之和；
（Ⅱ）求展開式中的有理項．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=，
解得 n=7，r=4． 故展開后所有項系數(shù)之和為（1+2）⁷=3⁷，所有項的二項式系數(shù)之和為 2ⁿ=2⁷．
（Ⅱ）展開式中的通項 T_k+1=C₇^K•2^K•，k∈z，故當 k=0，3，6時的項為有理項，
故有理項為第一項 T₁=1，第四項 T₄=C₇³•8x=280x，第七項 T₇=C₇⁶•2⁶x²=448x²．
分析：（Ⅰ） 由題意可得 C_n^r2^r=2 C_n^r-12^r-1，且 C_n^r2^r=，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求出n值．
（Ⅱ）由展開式中的通項 T_k+1=C₇^K•2^K•，k∈z，可知，故當 k=0，3，6時的項為有理項．
點評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求出n值，是解題的關(guān)鍵．