Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝a2x2(a＞0)，g(x)＝bln x.

（1）若函數(shù)y＝f(x)圖象上的點到直線x－y－3＝0距離的最小值為2 ，求a的值；

（2）對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m都成立，則稱直線y＝kx＋m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”．設(shè)a＝，b＝e，試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)a的值為.

(2)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意和函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)與g(x)的圖象有公共點.由“分界線”的定義可得x2－2kx－e＋2k≥0在x∈R上恒成立．據(jù)此可得，然后結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)證明恒成立即可．

試題解析：

(1)因為f(x)＝a2x2，所以f′(x)＝2a2x，

令f′(x)＝2a2x＝1，

得x＝，此時y＝，

則點到直線x－y－3＝0的距離為2，

即2＝，解得a＝ (負值舍去)．

(2)設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－eln x(x＞0)，

則F′(x)＝x－＝＝.

所以當0＜x＜時，F′(x)＜0；當x＞時，F′(x)＞0.

因此x＝時，F(x)取得最小值0，

則f(x)與g(x)的圖象在x＝處有公共點.

設(shè)f(x)與g(x)存在“分界線”，

方程為y－＝k(x－)，即y＝kx＋－k，

由f(x)≥kx＋－k在x∈R上恒成立，

則x2－2kx－e＋2k≥0在x∈R上恒成立．

所以Δ＝4k2－4(2k－e)＝4k2－8k＋4e＝4(k－)2≤0成立，因此k＝.

下面證明g(x)≤x－ (x＞0)恒成立．

設(shè)G(x)＝eln x－x＋，

則G′(x)＝－＝.

所以當0＜x＜時，G′(x)＞0；當x＞時，G′(x)＜0.

因此x＝時，G(x)取得最大值0，

則g(x)≤x－ (x＞0)成立．

故所求“分界線”方程為y＝x－.