Question

如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AA₁、D₁C₁的中點(diǎn)，過(guò)D、M、N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l；
（1）畫出直線l；
（2）設(shè)l∩A₁B₁=P，求PB₁的長(zhǎng)；
（3）求D到l的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的幾何特征，我們易得連接DM并延長(zhǎng)交D₁A₁的延長(zhǎng)線于Q．連接NQ，即可得到滿足條件的直線l；
（2）若l∩A₁B₁=P，即QN∩A₁B₁=P，我們易根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到A₁是QD₁的中點(diǎn)．進(jìn)而求出PB₁的長(zhǎng)；
（3）作D₁H⊥l于H，連接DH，根據(jù)正方體的幾何特征，易得DH⊥l，即DH的長(zhǎng)就是D到l的距離．解Rt△QD₁N即可得到答案．

解答：解：（1）連接DM并延長(zhǎng)交D₁A₁的延長(zhǎng)線于Q．連接NQ，
則NQ即為所求的直線l．
（2）設(shè)QN∩A₁B₁=P，△A₁MQ≌△MAD，
∴A₁Q=AD=A₁D₁，A₁是QD₁的中點(diǎn)．
∴A₁P=

1

2

D₁N=

a

4

．∴PB₁=

3

4

a．
（3）作D₁H⊥l于H，連接DH，可證明l⊥平面DD₁H，則DH⊥l，則DH的長(zhǎng)就是D到l的距離．
在Rt△QD₁N中，兩直角邊D₁N=

a

2

，D₁Q=2a，斜邊QN=

17

2

a，∴D₁H•QN=D₁N•D₁Q，即D₁H=

2 17

17

a，DH=

( 2 17 17 a)2+a2

=

357

17

a，∴D₁到l的距離為

357

17

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，其中熟練掌握正方體的幾何特征，是解答本題的關(guān)鍵．