已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點．

⑴⑵或．⑶利用韋達定理及坐標(biāo)運算即可證明

解析試題分析：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．   4分
⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①
聯(lián)立消去得：，       6分
由得，        7分
又不合題意，
所以直線的斜率的取值范圍是或．      9分
⑶設(shè)點，則，直線的方程為
令，得，將代入整理，得．    ②           12分
由得①代入②整理，得，
所以直線與軸相交于定點．        14分
考點：本題考查了橢圓及直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直線與橢圓相交于，兩點，為坐標(biāo)原點.
（Ⅰ）當(dāng)點的坐標(biāo)為，且四邊形為菱形時，求的長；
（Ⅱ）當(dāng)點在上且不是的頂點時，證明：四邊形不可能為菱形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓的焦距為2．
⑴求橢圓的方程；
⑵設(shè)為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準線有公共點時，求△面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關(guān)于點對稱．

（1）若點的坐標(biāo)為，求的值；
（2）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線相切于點，且與直線相交于點，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過此定點？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點在拋物線上．

（1）求拋物線的方程及其準線方程；
（2）過拋物線上的動點作拋物線的兩條切線、， 切點為、．若、的斜率乘積為，且，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)是橢圓的左焦點，直線方程為，直線與軸交于點，、分別為橢圓的左右頂點，已知，且．
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準方程；
(Ⅱ)過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求三角形面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

雙曲線的離心率等于2，且與橢圓有相同的焦點，求此雙曲線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的頂點為，焦點為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)n 為過原點的直線，是與n垂直相交于P點，與橢圓相交于A, B兩點的直線，.是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；并說出；若不存在，請說明理由.

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