Question

（2012•包頭一模）如圖橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的右頂點(diǎn)是A，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，D，四邊形OANB是矩形（O為原點(diǎn)），點(diǎn)E，M分別為線段OA，AN的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線DE與直線BM的交點(diǎn)在橢圓C上；
（Ⅱ）若過點(diǎn)E的直線交橢圓于R，S兩點(diǎn)，K為R關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)（R，K，E不共線），問：直線KS是否經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)，如果是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直線DE、BM的方程，從而可得交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證即可；
（Ⅱ）確定直線SK的方程，求得y=0時(shí)，橫坐標(biāo)為定值，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：由題意，得A(2，0)，B(0，

3

)，D(0，-

3

)，E(1，0)，M(2，

3

2

)，
所以直線DE的方程y=

3

x-

3

，直線BM的方程為y=-

3

4

x+

3

，------（2分）
由

y= 3 x- 3 y=- 3 4 x+ 3

，得

x= 8 5 y= 3 3 5

，
所以直線DE與直線BM的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

8

5

，

3 3

5

)，---------------（4分）
因?yàn)?span id="4lh6akb" class="MathJye">

( 8 5 )2

4

+

( 3 3 5 )2

3

=1，所以點(diǎn)(

8

5

，

3 3

5

)在橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1上．---------（6分）
（Ⅱ）設(shè)RS的方程為y=k（x-1），代入C：

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則K（x₁，-y₁），x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
直線SK的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，令y=0，得x=

y1x2+y2x1

y2+y1

，
將y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得x=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=4，
所以直線SK經(jīng)過x軸上的點(diǎn)（4，0）．---------（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線方程，考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，確定直線的方程是關(guān)鍵．