Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=

2

，N、M分別是線段B₁B、AC₁的中點．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距離
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

Answer 1

分析：（I） 取AC中點F，連接MF，BF，證明四邊形MNBF為平行四邊形，則可證行線面平行的判定定理成立的條件．
（II）設A₁到平面AB₁C₁的距離為h，從題設條件知道，本小題宜用等體積法求解．
（III）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，又點D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜邊A₁B₁的中點，故有C₁D⊥平面A₁B₁BA，再由作二面角平面角的作法作出平面角，此角所在三角形是直角三角形，在此直角三角形中求該角的三角函數(shù)值再由值求角．

解答：解：（I）證明：取AC中點F，連接MF，BF，
在三角形AC₁C中，MN∥C₁C且MF=

1

2

C1C，BN∥C1C且BN=

1

2

C1C，
∴MF∥BN且MF=BN
∴四邊形MNBF為平行四邊形
∴BF∥MN
∵BF?平面ABC
MN?平面ABC不成立
∴MN∥平面ABC（6分）
（II）設A₁到平面AB₁C₁的距離為h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁
∴VA1-AB1C1=VA-A1B1C1
∴

1

3

S△AB1C1•h=

1

3

S△A1B1C1•A1A
∵S△AB1C1=

1

2

B1C1•AC1=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S△A1B1C1=

1

2

B1C1•A1C1=

1

2

，AA1=

2

∴h=

S△A1B1C1

S△AB1C1

•A1A=

6

3

．    (10分)
（III）三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，
又點D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜邊A₁B₁的中點．
則C₁D⊥A₁B₁
所以，C₁D⊥平面A₁B₁BA；
平面A₁B₁BA內(nèi)，過D作DE⊥AB₁，垂足為E，連接C₁E，則C₁E⊥AB₁；
∴∠C₁ED是二面角，A₁-AB₁-C₁的平面角，
在Rt△DEC1中，tan∠C1ED=

C1D

DE

=

2 2

2 2 B1D

=

2

，∠C1ED=arctan

2，

所以，二面角，A₁-AB₁-C₁的大小為arctan

2

．（13分）

點評：考查線面平行的判定定理，以及點到面的距離的求法，二面角的求法，本題設及知識面廣，方法選擇靈活，是立體幾何中的一道少見的好題．